Мировоззренческие основы IT-индустрии. Matrix Reload | Страница 8 | Онлайн-библиотека


Выбрать главу

Подобные вопросы не могут возникнуть в связи с определением Ф. Энгельса, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются лишь абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира, они берутся из реального мира и поэтому естественным образом с ним связаны. В сущности этим объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, объясняется успех того процесса, который мы сейчас наблюдаем и который называется «математизацией» знаний. Известен ряд примеров, когда абстрактно созданные математические теории намного опережали открытие соответствующих им реальных физических процессов в области естествознания. «Удивительная, непостижимая эффективность математики в естествознании, тот факт, что ее современные модели зачастую описывают довольно неплохо сложные процессы материальной действительности, говорит о том, что математика отражает не только количественную, но и в какой-то мере качественную сторону явлений объективной реальности, о чем писали еще Кант и Гегель» (20, 16).

1.7 Гипотеза «ассоциативной аналогии»

Если проанализировать состояние современной математики как области науки, как языка науки в историческом аспекте, выявить процесс формирования основных понятий, то становится очевидным, что современная математика имеет логически стройную внутреннюю структуру, элементами которой являются, в свою очередь, те самые математические структуры, поразительная применимость которых так удивляет («принцип иерархии структур» по Н. Бурбаки).

Но если математические понятия являются абстракциями отношений и форм реального мира, берутся из реального мира и естественным образом с ним связаны, то возникает вопрос – не отражает ли внутренняя структура современной математики, сложившаяся в процессе исторического абстрагирования форм и отношений реального мира, глубинную фундаментальную структуру реального мира? Не является ли внутренняя структура математики некой моделью реального мира? Если это так, то открывается уникальная возможность взглянуть на объективную реальность через призму внутренней структуры современной математики. Итак, что же лежит в основе современной математики?

В соответствии с исследованиями школы Н. Бурбаки, фундаментом современного математического знания является теория множеств. «Возможно вывести почти всю современную математику, – пишет Бурбаки, – из единого источника – теории множеств» (43, 26). В основе теории множеств, как известно, лежат два понятия – понятие «множество» и понятие «отношение». «Множество» есть совокупность элементов. Элемент множества – основная структурная единица при моделировании объективной реальности средствами математики. Понятие «отношение» отражает наличие связей между элементами множества. Совокупность элементов множества и связей, отношений между ними образуют конкретную математическую структуру (43). Таким образом, понятия «множество» и «отношение» можно рассматривать как фундамент логической структуры математики.

Рассмотрим некоторое «множество элементов». Отношение (закон композиции) между собственными элементами этого множества определяют как внутреннее (унарное, бинарное, тернарное – в зависимости от количества элементов). Простейшая математическая структура – группоид – задается как множество элементов с заданным на нем внутренним бинарным законом композиции (43, 62). Можно определить закон композиции на структурном уровне, единичным элементом которого является группоид. Для этого вводят понятие «гомоморфизм», которое отражает связи между группоидами (как разновидности – «изоморфизм», «эндоморфизм» и др.). «Группа» – частный случай группоида. Последующие уровни иерархии математических структур: «кольцо» – множество с заданными на нем двумя законами композиции (группа с дополнительными связями), «тело» – множество с заданными на нем двумя группами, «векторное пространство» – конструкция на основе группы, тела и закона композиции между ними, «тензор», «спинор», «твистор» и т. д. (43). Наблюдаем некую иерархическую последовательность математических структур, в которой новые структуры формируются путем задания отношений, связей между объектами предшествующих уровней сложности.

Конец ознакомительного фрагмента. Полный текст доступен на www.litres.ru

8